آشنایی با اتحاد های مثلثاتی Trigonometric Identities

پارس دانش : به طور کلی اتحاد به تساوی گفته می شود که به ازای همه ی مقادیر حقیقی بر قرار باشد. با توجه به این تعریف ما می توانیم به تعداد بینهایت اتحاد داشته باشیم . اما ریاضی دانان با توجه به نوع کاربرد اتحادها ، آن ها در تغداد معینی طبقه بندی کرده اند.  از اتحادها برای برای محاسبات  عددی سریع تر،اثبات و کشف روابط ریاضی تازه، حل انواع معادلات ، اثبات نامساوی ها و…. استفاده می کنند.

اتحاد های معروف و مهم به نام  ریاضی دانان بزرگ است . مانند اتحاد لاگرانژ ، اویلر و بسط دو جمله ای خیام -نیوتن . در اینحا می خواهیم با اتحاد های مثلثاتی آشنا شویم . قبل از آن ابتدا بیایید با نسبت های مثلثاتی آشنا شویم . نسبت های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه مطرح می شوند. اگر ABC  یک مثلث قائم الزاویه باشد، در صورتی که نسبت اضلاع را به وتر  یا نسبت به یکدیگر در نظر بگیریم . نسبت های مثلثاتی به دست می آیند.

به نسبت ضلع مقابل یک زاویه به وتر مثلث قائم الزاویه سینوس (Sinus) آن زاویه می گویند. مانند سینوس زاویه θ که می نویسیم Sinθ  در اینجا θ  همان زاویه A است.
به نسبت ضلع مجاور یک زاویه به وتر را کسینوس (cosinus) آن زاویه می گوییم و می نویسیم  (Cosθ)
به نسبت ضلع مقابل یک زاویه به ضلع مجاور آن زاویه را  تانژانت آن زاویه می گوییم و می نویسیم  (tanθ)
به نسبت ضلع مجاور یک زاویه به ضلع مقابل آن زاویه کتانژانت  آن زاویه می گویند و می نویسیم (cotθ)
روابط نسبت ها در مثلث قائم الزاویه  
در مثلثات به غیر روابط بالا روابط دیگری نیز بین زوایا وجود دارد که در زیر آمده است .
الف ) اتحاد های اصلی

در روابط زیرsecθ ( سکانت تتا) عکس نسبت کسینوس است یعنی :  secθ=۱/cosθ و cosecθ عکس نسبت سینوس است .یعنی :  cosecθ =۱/sinθ

ب ) نسبت های مثلثاتی زوایای مرکب

سینوس 

\cos (\theta - \beta) = \cos \theta. \cos \beta + \sin \theta. \sin \beta \,\cos (\theta + \beta) = \cos \theta. \cos \beta - \sin \theta. \sin \beta \,
کسینوس 
\sin (\theta + \beta) = \sin \theta. \cos \beta + \cos \theta. \sin \beta \,
\sin (\theta - \beta) = \sin \theta. \cos \beta - \cos \theta. \sin \beta \,
تانژانت 
\tan(\theta + \beta) = \frac{\tan \theta + \tan \beta}{1 - \tan \theta. \tan \beta} \,
\tan(\theta - \beta) = \frac{\tan \theta - \tan \beta}{1 + \tan \theta. \tan \beta} \,
کتانژانت 
\cot(\theta + \beta) = \frac{\cot \theta. \cot \beta - 1}{\cot \theta + \cot \beta} \,
\cot(\theta - \beta) = \frac{\cot \theta. \cot \beta + 1}{\cot \theta - \cot \beta} \,
پ ) نسبت های مثلثاتی زاویه ی دو برابر 
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2 \cos^2 a -1= 1 - 2 \sin^2 a \,
\sin 2a = 2\sin a. \cos a \,
 \tan 2a = \frac{2 \tan a} {1 - \tan^2 a}
 \cot 2a = \frac{\cot^2 a - 1}{2 \cot a}
ت) نسبت های مثلثاتی زاویه ی سه برابر 
 \sin 3a = - \sin^3a + 3 \cos^2 a \sin a = - 4\sin^3 a + 3\sin a
 \cos 3a = \cos^3a - 3 \sin^2 a\cos a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a
 \tan 3a = \frac{3 \tan a - \tan^3 a}{1 - 3 \tan^2 a}
\cot 3a = \frac{3 \cot a - \cot^3 a}{1 - 3 \cot^2 a}
ث) نسبت های مثلثاتی زاویه ی زاویه نصف کمان 
\cos a = \sqrt{\frac{1}{2}\ (1 + \cos 2a)}
\sin a = \sqrt{\frac{1}{2}\ (1 - \cos 2a)}
ج)روابط تبدیل ضرب به جمع 
\cos a. \cos b = \frac{1}{2}(\cos (a+b) + \cos (a-b))
\sin a. \sin b = \frac{1}{2}(\cos (a-b) - \cos (a+b))
\sin a. \cos b = \frac{1}{2}(\sin (a+b) + \sin (a-b))
چ) روابط تبدیل جمع به ضرب 
\cos a + \cos b = 2 \cos\frac{ a+b }{ 2 }. \cos\frac{ a-b }{2}\,
\cos a - \cos b = -2 \sin\frac{ a+b }{ 2 }. \sin\frac{ a-b }{2}\,
\sin a + \sin b = 2 \sin\frac{ a+b }{ 2 }. \cos\frac{ a-b }{2}\,
\sin a - \sin b = 2 \cos\frac{ a+b }{ 2 }. \sin\frac{ a-b }{2}\,
خ) روابط تبدیل جمع سینوس و کسینوس یک زاویه 
\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right)
ادامه دارد…………….
تهیه شده به وسیله : وحید صادقی

 

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *