پارس دانش:پیر فرما (Pierre de Fermat) در سال ۱۶۰۱ در نزدیکی مونتابن (Montauban) فرانسه متولد شد. او فرزند یک تاجر چرم بود و تحصیلات اولیه خود را در منزل گذراند. سپس برای احراز پست قضاوت به تحصیل حقوق پرداخت و بعد ها بعنوان مشاور در پارلمان محلی شهر تولوز (Toulouse) انتخاب شد.
او باوجود علاقه بسیاری که به ریاضیات داشت هرگز بصورت رسمی و حرفه ای به این علم نپرداخت اما با این حال بسیاری او را بزرگترین ریاضی دان قرن هفدهم می دانند. او در سن ۶۴ سالگی در شهر کاستر (Caster) در گذشت.
فرما برای تفریح به ریاضیات می پرداخت و امروزه بسیاری از اکتشافت او بعنوان مهمترین قضایا در ریاضیات مطرح می باشند. زمینه های مورد علاقه او در ریاضیات بیشتر شامل تئوری اعداد، استفاده از هندسه تحیلی در مقادیر بینهایت کوچک یا بزرگ و فعالیت در زمینه احتمالات بود.
قضیه کوچک فرما
از جمله قضایای زیبای او که به قضیه کوچک فرما معرف شده است می توان به این مورد اشاره کرد. اگر p یک عدد اول باشد و a یک عدد طبیعی در آنصورت a p-1 – 1 بر p قابل قسمت خواهد بود.
اثبات این قضیه از طریق استقرای ریاضی بسیار ساده است. این قضیه حالت عمومی تر دو قضیه دیگر در ریاضیات هست یکی قضیه ای منسوب به اویلر (Euler) و دیگری قضیه ای معروف به همنهشتی چینی (Chinese Hypothesis).
از دیگر قضایایی که او در طول زندگی خود ارائه کرد می توان به موارد زیادی اشاره کرد از جمله : “اگر a و b و c اعداد صحیح باشند و a2+b2=c2 باشد در آنصورت ab نمی تواند مربع یک عدد صحیح باشد.” اولین بار برای این قضیه لاگرانژ (Lagrange) راه حلی استادانه ارائه کرد.
قضیه آخر فرما
شاید جنجالی ترین قضیه ای که حتی خود فرما برای آن توضیح یا اثباتی ارائه نکرده است قضیه آخر او باشد که اینگونه است.
اگر داشته باشیم :
(متغیر X به توان n )+( متغیر y به توان n ) = (متغیر z به توانn )
دراین صورت فقط به ازای n=2 تساوی برقرار است و برای n. >2 داریم :
(متغیر X به توان n )+( متغیر y به توان n ) > (متغیر z به توانn )
به عبارت دیگر :«معادله برای} جواب صحیح و غیر صفر ندارد.» n عددی طبیعی
اندرو وایلز استاد دانشگاه پرینستون در سال ۱۹۹۳ با استفاده از نظریه اعداد پیشرفته، اثباتی برای این قضیه ارائه کرد که دارای مشکلی بود ولی در سپتامبر ۱۹۹۴ اشکال این راه‌حل توسط خود وایلز و با همکاری یکی از همکارانش به نام «تیلر» برطرف شد.
نکاتی از نظریه اعداد
شرایط بخش پذیری اعداد طبیعی به چند عدد نخست مجموعه اعداد اول
بخش‌پذیری بر ۲: شرط لازم برای آن که یک عدد بر ۲ بخش‌پذیر باشد، آن است که رقم یکان آن زوج باشد مانند ۳۰ ، ۱۹۹۶ ، ۲۰۴٫
بخش‌پذیری بر ۳: شرط لازم برای آن که عددی بر ۳ بخش‌پذیر باشد آن است که مجموع ارقام آن عدد بر ۳ بخش پذیر باشد. مانند ۱۹۲ (زیرا مجموع ارقام آنها برابر ۱۲ می‌باشد)
بخش‌پذیری بر ۵: شرط لازم برای آن که یک عدد بر ۵ بخش‌پذیر باشد آن است که رقم یکان آن صفر یا ۵ باشد، مانند ۲۰۵ ، ۴۱۰٫
بخش‌پذیری بر ۷: عددی بر ۷ بخش‌پذیر است که اگر رقم اول سمت چپ آن را در ۳ ضرب کرده و با رقم دوم سمت چپ جمع کنیم وحاصل را بر ۷ تقسیم کنیم، سپس باقیمانده تقسیم را دوباره در ۲ ضرب کرده و با رقم سوم از سمت چپ جمع و حاصل را بر ۷ تقسیم کنیم و همین عملها را تا آخرین رقم ادامه دهیم، در پایان باقیمانده بر ۷ تقسیم بر ۷ برابر با صفر باشد.
بخش‌پذیری بر ۱۱: عددی بر ۱۱ بخش‌پذیر است که اختلاف مجموع ارقام مرتبه زوج (یکان ، صدگان ، ده هزارگان و … ) با مجموع ارقام مرتبه فرد (دهگان ، هزارگان ، صدگان و …) بر ۱۱ بخش‌پذیر باشد.
کوچکترین مضرب مشترک دو عدد
کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b عبارت است از کوچکترین عددی که بر هم بر a و هم بر b بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد b,a (ک.م.م) که آن را به صورت a,b نمایش می‌دهیم، ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه میکنیم. سپس کوچکترین مضرب مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک و غیر مشترک با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ک.م.م دو عدد ۳۶ و۴۵ برابر است با ۲۲X32X5 یعنی ۱۸۰ خواهد بود.
بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد
بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b عبارت است از بزرگترین عددی که هم a و هم b بر آن بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد b,a را به حاصلضرب (ب.م.م) که آن را به صورت (a,b) نمایش می‌دهیم؛ ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه میکنیم، سپس بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک دو عدد a و b با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ب.م.م دو عدد ۴۵ و ۳۶ برابر با ۳۲ یعنی ۹ می‌باشد.
دو عدد متباین
دو عدد را نسبت به هم اول یا متباین گویند هر گاه ب.م.م آن دو عدد برابر با ۱ باشد. برای مثال دو عدد ۸ و ۹ نسبت به هم اول هستند، زیرا ۱=(۹ و ۸). بزرگترین مقسوم علیه مشترک n عدد نیز به همین صورت تعریف می‌شود. باید توجه داشت که در این حالت منظور از عاملهای مشترک ، اعداد اولی هستند که در تجزیه تمامی n عدد مشترک می‌باشد. برای هر دو عدد طبیعی a,b تساوی (a ,b).a,b=ab برقرار می‌باشد.
حدس گلدباخ
انگاره‌ی گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ی ریاضیات می‌باشد.برای درک این مساله تنها کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید. این انگاره چنین است:
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲ حاصل‌جمع دو عدد اول است.
صورت معادل آن چنین است:
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۵ حاصل‌جمع سه عدد اول است.
تاریخچه حدس گلدباخ
گلدباخ (۱۶۹۰ – ۱۷۶۴) به خاطر این حدس که آن را در سال ۱۷۴۲ در نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز ۲ و ۵) می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً
۴=۲+۲ , ۶=۳+۳ , ۸=۵+۳ , ۱۰=۵+۵ , ۱۲=۵+۷ , ۱۴=۷+۷ , ۱۶=۱۳+۳ , ۱۸=۱۱+۷ , ۲۰=۱۳+۷ , … , ۴۸ = ۲۹ +۱۹ , … , ۱۰۰ = ۹۷ + ۳ , … لدباخ از اویلر پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.
تلاش‌ها برای اثبات حدس گلدباخ
در سال ۱۹۳۱ اشنیرلمان (۱۹۰۵-۱۹۳۸) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۳۰۰۰۰۰ عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.
بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از ۳۰۰۰۰۰ به ۴ کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان ۳۰۰۰۰۰ و ۴ باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر ۴ عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر ۴ عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.
در سال ۱۹۵۶ باروتسکین با نشان دادن اینکه عدد exp(exp(16/038))=n در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد.
در ۱۹۱۹ ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصلضرب حداکثر ۹ عدد اول هستند.
در ۱۹۳۷ ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصلضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصلضرب حداکثر ۳۶۶ عدد اول است.
کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصلضرب حداکثر چهار عدد اول است.
در ۱۹۵۷ ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،مجموع یک عدد اول و حاصلضرب حداکثر سه عدد اول است.
در ۱۹۴۸ آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصلضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است).
در ۱۹۶۱ باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند.
در ۱۹۶۲ ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،آن را به c=4 کاهش دادند.
در ۱۹۶۵ بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد.
در ۱۹۶۶ ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد. یعنی
هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع یک عدد اول و حاصلضرب حداکثر دو عدد اول است.
قضیه پاسکال
بلز پاسکال در سن ۱۶ سالگی قضیه‌ای را مطرح نمود که تعمیمی از قضیه‌ی ساده‌تر دیگر منسوب به پاپوس اسکندرانی بود . صورت این قضیه چنین است :
اضلاع متقابل یک شش‌ضلعی محاط در مقطعی مخروطی ، یکدیگر را در سه نقطه‌ی هم‌خط قطع میکنند.
(این شش ضلعی به شش ضلعی عرفانی نیز معروف است)
اگر روی یک مقطع مخروطی شش نقطه اختیار کنیم، و A تا F نامگذاری کنیم، نقاط تقاطع AB با DE و BC با EF و CD با FA (جفت‌های متقابل) بر روی یک خط راست قرار دارند و بالعکس
مثلثات کروی
در نجوم در بخشها ی مختلف کاربرد وسیعی دارد از جمله از این کاربردها :
مختصات نجومی (سه دستگاه مختصات نجومی وجود دارد که با مثلثات کروی کار میکنند.)
اندازه گیری زوایای میل ، سمت ، عرض جغرافیایی ، طول جغرافیایی و … در این دستگاهها با ابزار مثاثات کروی ممکن هست.
انحراف محور خورشید (دایرهالبروج خورشید) را از روی مثلثات کروی می سنجند.
در اندازه گیری فواصل نجومی و تنظیم اوقات شرعی ، طلوع و غروب خورشید و رصدهای نجومی مثلثات کروی نقش بسزایی دارد.
مثلثات و علم جغرافی
شکل کره زمین، در واقع نامنظم است و شبه کره geoid نامیده می شود. اما انحرافهایی از یکی از اجسام تابع محاسبه ریاضی نسبت به اندازه آنها کوچک اند.
تحلیل مسیرهای ماهواره های زمینی مصنوعی نشان داده است که یک بیضی وار مناسب با سه محور بهترین شکل را برای شبه کره به دست می دهد.
در واقع تفاوت بین دو محور واقع در صفحه استوایی(equatorial plane) آنقدر کوچک است که تاکنون برای اندازه گیریهای زمینی مشخص نشده است.
بنابراین در ژئودرزی عالی، کره زمین به صورت کره وار spheroid در نظر گرفته می شود.
در این مورد، اولین محاسبات دقیق توسط فردریش ویلهلم بسل انجام گرفت.
چند حدس(انگاره ) مهم در ریاضی
انگاره‌ی کاتالان Catalan’s conjecture که در مورد توانهای متوالی اعداد صحیح است .
انگاره‌ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture که در مورد بینهایت بودن اعداد اول دوقلو است.
انگاره‌ی کولاتز Collatz conjecture که در مورد تکرار ساده می‌باشد .
زمینه تاریخی پارادوکس
پیدایش پارادوکس ها زمینه تاریخی دارد.برای فهم بهثر ان داستان زیر را ذکر میکنیم:
در یک روز جمعه دادگاه شخصی را به مرگ محکوم کرد. قاضی به زندانیِ محکوم گفت:
ظهریکی از روزهای هفته‌ی آینده حکم اعدام درباره‌ی تو اجرا خواهد شد، ولی ما آنروز را برای تو مشخص نخواهیم کرد و تو هرگز قبل از آن روز اطلاع پیدا نخواهی کرد و فقط شش ساعت قبل یعنی صبحِ روز اجرای حکم موضوع را به تو اطلاع خواهیم داد.
قاضیِ مذکور در همه‌ی عالم به ذکاوت و خوش‌قولی مشهور بود و همیشه دقیقاً به گفته‌ی خود عمل می‌نمود.
زندانی به همراهی وکیل مدافع خود به سلولش داخل شد و هر دو غمزده در گوشه‌ای به فکر فرو رفتند. ناگاه وکیل مدافع با لبخندی پیروزمندانه سکوت را شکست و گفت:
اجرای حکم قاضی امکان ندارد.
زندانی گفت:
من که چیزی سردر نمی‌آورم. چرا؟
وکیل مدافع پاسخ داد:
اجازه بده تا درست برایت شرح دهم: مسلماًً آنها روز جمعه نمی‌نتوانند تو را اعدام کنند. به دلیلِ اینکه اگر فرضاً بخواهند در روز جمعه‌ی آینده حکم را اجرا نمایند. در این صورت تو تمام روزهای هفته و همچنین بعدازظهر پنج‌شنبه زنده خواهی بود و چون فقط روز جمعه یعنی یک روز دیگر به مهلت باقی مانده، بعد ازظهر پنج‌شنبه برای تو مسلم خواهد شد که فردا یعنی روز جمعه و تنها روز آخر هفته ، حکم اجرا خواهد شد. در نتیجه تو روز اجرای حکم را یک روز پیشتر پیش‌بینی و قبل از صبح جمعه از آن اطلاع حاصل کرده‌ای و این موضوع نقض حکم قاضی بوده و گفته‌ی او را بی‌اعتبار خواهد کرد.
زندانی گفته‌ی او را تصدیق کرد.وکیل مدافع ادامه داد:
بنابراین روز جمعه‌ی آینده از فهرستِ روزهای مهلت حذف و در آن روز حکم غیرقابل اجرا است. و اما روز پنج‌شنبه نیز نمی‌توانند تو را اعدام کنند چون در بعدازظهرِ چهارشنبه دو روز بیشتر به آخر هفته نمانده و چون روز جمعه از فهرست حذف شد ، تنها روز پنج‌شنبه آخرین روز اجرای حکم می‌باشد نتیجتاً بعدازظهر چهارشنبه تو خواهی دانست در روز پنج‌شنبه که آخرین روز امکان اجرای حکم است، تو را اعدام خواهند کرد. اطلاع تو یک روز پیشتر از اجرای حکم مجدداً متناقض با حکم قاضی است. بنابراین پنج‌شنبه نیز حکم غیرقابل اجرا است. چهارشنبه نیز امکان اجرای حکم وجود ندارد چون جمعه و پنج‌شنبه حکم غیرقابل اجرا شد و فقط چهارشنبه آخرین روز اجرای حکم تشخیص داده شد و تو که بعدازظهر سه‌شنبه هنوز زنده هستی، اجرای حکم روز چهارشنبه را پیش‌بینی خواهی کرد و از آن اطلاع خواهی یافت.
در این موقع که زندانی از حالت غمزدگی بیرون آمده بود با لبخندی مسرت‌بخش گفت:
پس به هر طریق می‌توان گفت که روز سه‌شنبه و سپس دوشنبه و بالاخره یک‌شنبه نمی‌توانند مرا اعدام کنند و فقط فردا یعنی شنبه باقی است. و اما فردا نیز اجرای حکم برای آنها غیرممکن است چون در این صورت من امروز موضوع را خواهم فهمید.
ملاحظه می‌شود از لحاظ منطقی هیچ تناقضی در حکم قاضی جهت اعدام زندانی وجود ندارد با این وجود حکمش غیرقابل اجرا است. به دلایل بالا به نظر می‌آید که حکم قاضی باعث نقض حکم خودش شده است، اگر حکم را اجرا کند خلاف حکم خودش شده است، اگر حکم را اجرا کند خلاف حکم خود عمل کرده و اگر اجرا نکند باز هم خلاف حکم خود رفتار نموده.
روایت دیگری از این پارادکس از یک اعلامیه‌ی فرمانده‌ی نظامی گفتگو می‌کند که در آن ذکر شده:
برای تمرین ، در یکی از شبهای هفته‌ی آینده آژیر خطر کشیده خواهد شد. شب تمرین در شش بعدازظهر همان روز به اطلاع عامه خواهد رسید و تا شش بعدازظهر کسی از شب موعود مطلع نخواهد شد.
به ظاهر چنین به نظر می رسد که خود این اعلامیه ثابت می‌کند که تمرین هرگز انجام نخواهد گرفت. به زبان دیگر اجرای تمرین عملی نیست مگر این که به متن اعلامیه عمل نشود.