Skip to content

توپولوژی Topology

پارس دانش :ماجرای تدوین شاخه توپولوژی، ما را به سیاحت شهر روسی ِ کالینینگراد خواهد برد؛ شهری که در قرن هجدهم جزو متعلقّات پروس (نام سابق آلمان)  بود و تحت عنوان کونیگسبرگ شناخته می‌شد. این شهر به واسطه مسیر رودخانه پرگل، به چهار خشکی مجزّا تقسیم شده است، که در آن دوران با هفت پل به یکدیگر متّصل شده بودند. پیاده‌روی‌‌های معمول یکشنبه‌های اهالی کونیگسبرگ در سطح شهر و عبور پیاپی‌شان از این پل‌ها، این سؤالِ ساده و پرتکرار آن‌ موقع شان بود که:

آیا می‌توان مسیری را مشخص کرد که در جریان آن، از طریق هر هفت پل، از هر چهار خشکی شهر عبور کرد و در عین حال هم بیش از یک بار از آن پل‌ها نگذشت؟

دورنمایی از شهر کونیگسبرگ در ابتدای قرن بیستم، از منظر یکی از پل‌های هفتگانه آن

در آن مقطع، این موضوع توجّه کارل گوتلیب اِهلر، شهردار شهر دانزیگ در همسایگی کونیگسبرگ را جلب کرد، و او موفق شد که با میانجی دوست ریاضیدان‌اش هینریش کوون، مکاتبانی را در این‌باره با لئونارد اویلر، از برجسته‌ترین ریاضیدانان زمان که در سن‌پترزبورگ روسیه می‌زیست، آغاز کند. اهلر در سنین جوانی خود سخت تحت تأثیر فلسفه گوتفرید لایب‌نیتس، فیلسوف و ریاضیدان برجسته آلمانی (و همین‌طور خلف‌اش کریستین وولف) بود و کوشید تا به همین بهانه، توجه اویلر را به بحث «حساب مکانِ» لایب‌نیتس جلب کند. اما اویلر ابتدا از حل مسأله سر باز زد و در نامه‌ای مربوط به آوریل ۱۷۳۶ برای کوون و اهلر نوشت:

“… سرور عزیزم، می‌بینید که راه حل [این مسأله] چندان ربطی به ریاضیات ندارد، و نمی‌فهمم که چرا به جای هر شخص دیگری، از یک ریاضیدان انتظار دارید که به آن دست پیدا بکند؛ چراکه این راه حل [فقط] بر عقل صِرف مبتنی است و کشف آن به هیچ اصل ریاضیاتی‌ای بستگی ندارد. … در ضمن، سرور عزیزم، جنابعالی این سؤال را به هندسه مکان حوالت داده‌اید؛ اما بنده نمی‌دانم که این رشته نوظهور به چه مربوط می‌شود و لایب‌نیتس و و وولف انتظار حل چه مسائلی را از طریق آن داشته‌اند”.

اما اصرار کوون و اهلر مبنی بر اینکه حل مسأله هفت پل کونیگسبرگ، نهایتاً به ظهور شاخه‌ای جدید از ریاضیات خواهد انجامید، اویلر را به تأمل بیشتری در این مسأله ترغیب کرد. و سرانجام او متوجّه شد که گرچه این مسأله ذاتاً یک مسأله‌ هندسی است، اما از یک لحاظ با مسائل متعارف هندسه اقلیدسی تفاوت دارد: اینکه در آن، از «مسافت‌«ها صرفنظر می‌شود. مهم نیست که ابعاد آن چهار خشکی یا طول آن هفت پل چقدر باشد، مهم نحوه اتصال آنها به یکدیگر است. پس ابتدا بایستی صورت‌مسأله را از مؤلفه‌های مربوط به مسافت زدود؛ اقدامی که گرچه تا به آن مقطع در بین ریاضیدانان سابقه‌ای نداشت، اما نیم‌قرن پیش‌تر از آن، لایب‌نیتس به امکان‌پذیری‌اش اشاره کرده بود. از همین‌رو اویلر در مقاله‌ای مربوط به همان سال، و راجع به همین مسأله، می‌نویسد:

“… افزون بر آن شاخه‌ای از هندسه که با مسافت‌ها سر و کار دارد و همیشه هم مورد عنایت [ریاضیدانان] بوده، شاخه‌ سابقاً ناشناخته دیگری هم وجود دارد که نخست لایب‌نیتس به وجودش اشاره داشته، و از آن تحت عنوان هندسه مکان یاد کرده است. این شاخه … نه ربطی به مسافت دارد و نه در محاسباتش از آن استفاده می‌شود. هنوز به طرز مشخّصی معلوم نیست که چه‌نوع مسأله‌هایی به این هندسه مکان ربط پیدا می‌کنند، و یا باید از چه راهکارهایی جهت حل‌شان اقدام کرد”.

حدود یک قرن بعد، ترجمه یونانی اصطلاح “هندسه مکانِ” لایب‌نیتس (به آلمانی: Geometriam situs)، بر عنوان رساله سال ۱۸۴۷ ریاضیدان آلمانی، یوهان بندیکت لیستینگ نشست: توپولوژی. و شش سال بعد هم در مقاله‌ای از نشریه علمی نیچر، رسماً از این اصطلاح به‌منظور تمیز دادن “هندسه کیفی از هندسه متعارف که مناسبات کمّی بر آن حکمفرماست” استفاده شد.

اویلر از طریق این هندسه ثابت کرد که نمی‌توان طی یک راهپیمایی ِ واحد، از طریق فقط یک بار گذشتن از هر هفت پل کونیگسبرگ، از هر چهار خشکی آن عبور کرد. تحت هر شرایطی، از دست‌کم یک‌ پل باید دو دفعه گذشت. او برای اثبات استدلال خود، تمام مؤلفه‌های مسأله را به هفت رشته (به نمایندگی از هفت پل) و چهار گره (به نمایندگی از چهار خشکی) ساده کرد، و به نمودار زیر (سمت راست) رسید؛ نموداری که امروزه از آن تحت عنوان یک «گراف» یاد می‌شود:

طرح ترسیم‌شده در مقاله ۱۷۳۶ اویلر از موقعیت پل‌های هفتگانه کونیگسبرگ (چپ)، و گراف متناظر با آن. هر دایره رنگی، از یکی از خشکی‌های پیرامون رود نمایندگی می‌کند، و هرکدام از رشته‌های گراف نیز از یک پل.

تنها مؤلفه‌ای که در این نمودار اهمیت دارد، اتصالات آن است؛ به‌طوریکه موقعیت گره‌ها و همچنین طول و شکل رشته‌ها در این بین هیچ تأثیری بر اصل مسأله نخواهد داشت. به عبارت دیگر، نمودار فوق را می‌توان به بی‌نهایت حالت دیگر هم ترسیم کرد و از منظر توپولوژیک کماکان یک شکل واحد داشت. چنانچه بخواهیم از هر چهار خشکی با عبور یک‌باره از هر هفت پل بگذریم، طبق نمودار فوق بایستی تعداد رشته‌های عبوری از هر گره (یا به عبارت امروزی، «درجه گره») عددی زوج باشد (نیمی از آنها برای ورود به خشکی و نیمی از آنها هم برای خروج از آن). این در حالی است که درجات هر چهار گره در گراف فوق، عددی فرد است. و از آنجاکه در یک مسیر پیاده‌رویْ نهایتاً دو گره در نقش نقاط شروع و پایانِ مسیر ظاهر می‌شوند، گزاره “عبور از هر چهار خشکی از طریق عبور یک‌باره از هر هفت پل”، در واقع یک گزاره‌ متناقض است. چنین چیزی ممکن نیست.

به عبارت امروزی‌تر، اویلر نشان داد که شرط ضروری امکان چنین راهپیمایی‌ای این است که گراف ما دقیقاً ۰ یا ۲ گره با درجه فرد داشته باشد؛ حال‌آنکه عملاً ۴ گره با درجه فرد دارد.

مسأله هفت پل کونیگسبرگ از این لحاظ اغواکننده است که پیچیدگی ظاهری‌‌اش ما را اشتباهاً به این تصور وامی‌دارد که «شاید» بتوان از طریق آزمون و خطا به مسیر مطلوب دست پیدا کرد. و توپولوژی، راهی برای زدودن همین پیچیدگی‌های گمراه‌کننده است؛ چراکه از منظر توپولوژیک، کلّیه مسیرهای ممکن ِ راهپیمایی‌ که از هر چهار خشکی و هر هفت پل بگذرد، مسیرهایی اصطلاحاً «همریخت» (homomorphic) هستند، و به همین‌ واسطه هم هیچ‌ کدام‌ شان قادر به برآوردن شرط صورت‌ مسئله نخواهند بود.

مثلاً حروف همریخت الفبای انگلیسی را می‌توان بر حسب تعداد «حفره»ها و «دُم»هایشان در این دسته‌ها جا داد:

۱) A، R (یک حفره، دو دم)

۲) C، G، I، J، L، M، N، S، U، V، W، Z (یک دم)

۳) D، O (یک حفره)

۴) E، F، T، Y (سه دم)

۵) H، K، X (چهار دم)

۶) P، Q (یک حفره، یک دم)

به عنوان نمونه، حروف A و R را می‌توان صرفاً با خم کردن خطوط‌شان به یکدیگر تبدیل کرد. حروف D و O را هم به همین ترتیب. اما نمی‌توان با صِرف خم کردن حرف A، آن را به شکل حرف O درآورد. چنین کاری مستلزم برش دادن و چسباندن بخش‌هایی از حرف A است. مادام‌که برای تغییر شکل دو چیز احتیاجی به برش دادن یا چسباندن اجزای‌شان نباشد، آن دو چیز از حیث توپولوژیک همریخت هستند. یعنی از منظر توپولوژیک، الفبای انگلیسی شش حرف بیشتر ندارد.

ویژگی منحصربفرد تمام توصیفات توپولوژیک این است که می‌توان هر پدیدار هندسی ِ‌ تک‌بُعدی، دوبعدی یا سه‌بعدی (اعم از خطوط، اشکال و سطوح) را بر حسب مفاهیمی نظیر همین حفره‌ها و دم‌ها تعریف کرد. و می‌دانیم که مثلاً تعداد حفره‌های یک شکل فقط می‌تواند عددی صحیح و غیراعشاری اختیار کند. مثلاً ممکن نیست که یک شکل، از ۱.۵ حفره تشکیل شده باشد.

در خصوص سطوح سه‌بعدی هم منحنی‌ها (یا به عبارت دقیق‌تر «رویه»ها) را می‌توان بر حسب بُرشی از سطح خارجی ِ یک شکل فرضی ِ n-حفره‌ای تصوّر کرد (شکلی که اصطلاحاً «رویه انتقالی» نامیده می‌شود). در واقع آن دستاوردی که مدال معتبر فیلدز را در سال ۲۰۱۴ برای مریم میرزاخانی به ارمغان آورد، ارائه رهیافتی بود که بتوان از طریق آن هر سطحی با انحنای منفی (موسوم به سطوح هذلولی) را بر حسب قطاعی از سطح خارجی یک رویه انتقالی ِ n-حفره‌ای به دست آورد؛ دستاوردی که صورت‌بندی آن برای میرزاخانی ۹ سال تمام به طول انجامید .

یک رویه با انحنای پیچیده (زردرنگ) را می‌توان بر حسب برشی از یک رویه انتقالی n-حفره‌ای تعریف کرد.

از آنجاکه برخی رفتارهای بزرگ‌مقیاس کوانتومی – اعم از ابَرسیالیت، ابررسانایی، و اثر هال کوانتومی – فقط تحت شرایط هندسی ِ خاصی (نظیر سطوح دوبعدی) پدیدار می‌شوند، و تغییراتی پله‌به‌پله (و نه پیوسته) را به نمایش می‌گذارند، به نظر می‌رسد که بتوان مؤلفه‌های پدیدآورنده‌شان را هم بر حسب توصیفات توپولوژیک درک کرد.

به عنوان نمونه، برای درک اینکه چرا هر کدام از حروف انگلیسی به یکی از دسته‌جات فوق تعلق گرفته، باید به شکل کلّی آن حرف نگریست، نه به صرفاً بخشی از آن حرف؛ به‌طوریکه این تقسیم‌بندی، فقط از یک منظر ِ کل‌گرایانهْ صائب خواهد بود. در واقع توپولوژی، زمینه را برای تعریف یک ملاک عینی برای تمیز بخشیدن مناظر «کلّی» ماده (که مبنای توصیفات شاخه فیزیک حالت جامد است) از مناظر جزئی‌نگر (که مبنای توصیفات شاخه فیزیک اتمی است) فراهم کرد. و از آنجاکه تحولات گیج‌کننده‌ای که در دماهای نزدیک به صفر مطلق در ساختار ماده دیده شده نیز تابعی از هندسه کلّی اجتماعات اتمی و نه خصوصیات تک‌تک اتم‌هاست، به نظر می‌رسد که اطلاق توصیفات توپولوژیک بر آنها رهیافت موجّهی باشد.

 

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *